HIMPUNAN
Apabila anda kesulitan untuk copy paste, anda bisa download File nya di sini
Standar Kompetensi
Menggunakan konsep himpunan dan diagram Venn dalam pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar
Memahami pengertian dan notasi himpunan, serta penyajiannya.
Memahami konsep himpunan bagian.
Melakukan operasi irisan, gabungan, kurang (selisih), dan komplemen pada himpunan.
Menyajikan him-punan dengan diagram Venn.
Menggunakan konsep himpunan dalam pemecahan masalah.
Indikator
Menyatakan masalah sehari- hari dalam bentuk himpunan dan mendata anggotanya.
Menyebutkan anggota dan bukan anggota himpunan.
Menyatakan notasi himpunan.
Menjelaskan himpunan kosong dan notasinya.
Menentukan himpunan bagian dari suatu himpunan.
Menentukan banyak himpunan bagian suatu himpunan.
Menjelaskan pengertian himpunan semesta, serta dapat menyebutkan anggotanya.
Menjelaskan pengertian irisan, gabungan, dan kurang (selisih) dari dua himpunan.
Menentukan irisan, gabungan dan kurang (selisih) dua himpunan.
Menjelaskan pengertian komplemen dari suatu himpunan.
Menentukan komplemen dari suatu himpunan.
Menyajikan gabungan atau irisan dua himpunan dengan diagram Venn.
Menyajikan kurang(selisih) suatu himpunan dari himpunan lainnya dengan diagram Venn.
Menyajikan komplemen suatu himpunan.
Menyelesaikan masalah dengan menggunakan diagram Venn dan konsep himpunan.
Tujuan pembelajaran pada bab ini adalah
Dapat menyatakan masalah sehari-hari dalam bentuk himpunan dan mendata anggotanya.
Dapat menyebutkan anggota dan bukan anggota himpunan.
Dapat menyatakan notasi himpunan.
Dapat mengenal himpunan kosong dan notasinya.
Dapat menentukan himpunan bagian dari suatu himpunan.
Dapat menentukan banyak himpunan bagian suatu himpunan.
Dapat mengenal pengertian semesta, serta dapat menyebutkan anggotanya.
Dapat menjelaskan pengertian irisan dan gabungan dua himpunan.
Dapat menjelaskan kurang (difference) suatu himpunan dari himpunan lainnya.
Dapat menjelaskan komplemen dari suatu himpunan.
Dapat menyajikan gabungan atau irisan dua himpunan dengan diagram Venn.
Dapat menyajikan kurang (difference) suatu himpunan dari himpunan lainnya dengan menggunakan diagram Venn.
Dapat menyajikan komplemen suatu himpunan dengan diagram Venn.
Dapat menyelesaikan masalah dengan menggunakan diagram Venn dengan konsep himpunan.
Pembahasan
Himpunan dan Notasinya
Pengertian Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda/objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui obyek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam humpunan tersebut.
Contoh:
1) Kumpulan bunga-bunga indah.
Tidak dapat kita sebut himpunan karena bunga indah itu relatif (bunga indah menurut seseorang belum tentu indah menurut orang lain). Dengan kata lain, kumpulan bunga indah tidak dapat didefinisikan dengan jelas.
Rombongan siswa SMP MUHI yang berwisata ke pula dewata adalah himpunan. Mengapa? Sebabnya ialah siswa-siswi yang berwisata kepulau dewata dapat diketahui dengan jelas.
Menyatakan Suatu Himpunan
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan :
Suatu kalimat
Notasi pembentuk himpunan
Mendaftar anggota-anggotanya
Untuk memberi nama pada suatu himpunan pada umumnya digunakan lambang huruf kapital.
Contoh:
H adalah tokoh-tokoh yang pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009. nyatakan himpunan tersebut dengan ketiga cara di atas:
Jawab:
Dengan suatu kalimat
H = { tokoh-tokoh yang pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009}
Dengan notasi pembentuk himpunan :
H = {x|x = tokoh-tokoh yang pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009}
Dengan mendaftar anggota-anggotanya
H = {Soekarno, Soeharto, B.J. Habibie, Abdurrahaman Wahid, Megawati, Susilo Bambang Yudoyono}
Anggota Himpunan
Setiap benda/objek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota/unsur/elemen himpunan tersebut. Untuk menyatakan suatu objek merupakan anggota himpunan, ditulis dengan lambang “” sedangkan untuk menyatakan suatu objek bukan, anggota himpunan ditulis dengan lambang “”
Misalkan H adalah himpunan huruf-huruf pada kata “MERDEKA” maka H adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas huruf-huruf M, E, R, D, E, K dan A. Huruf M, E, R, D, E, K dan A termasuk anggota himpunan H, ditulis M H, E H, R H, dan E H, K H dan A H sedangkan L bukan anggota H atau ditulis L H.
Banyaknya anggota himpunan H adalah 6 buah, yaitu M, E, R, D, E, K dan A ditulis n(H) = 6.
Himpunan dengan banyak anggota berhingga disebut himpunan hingga, sedangkan himpunan dengan banyak anggota tidak berhingga disebut himpunan tidak berhingga.
Misalnya, A adalah himpunan bilangan asli, maka anggota-anggota adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan seterusnya yang tidak pernah berakhir. Banyak anggota himpunan A adalah tidak berhingga, ditulis n(A) = tidak berhingga.
Himpunan Bagian
Pengertian Himpunan Bagian
Perhatikan himpunan-himpunan berikut:
A = {himpunan hewan}
B = {himpunan hewan berkaki empat}
C = {himpunan hewan berkaki empat yang bertelur}
Misalkan A, B dan C adalah sebagai berikut:
A = {kucing, anjing, buaya, kura-kura, burung}
B = {kucing, anjing, buaya, kura-kura}
C = {buaya, kura-kura}
Jika kita perhatikan, setiap anggota himpunan B merupakan anggota himpunan A, ditulis B A dan setiap anggota himpunan C merupakan anggota himpunan B, ditulis C B. Namun, kita tidak dapat menuliskan A B karena ada anggota A yang bukan merupakan anggota B, yaitu burung. Oleh karena itu himpunan yang demikian ditulis A B
Menentukan banyak himpunan bagian
Perhatikan himpunan-himpunan berikut!
A = {a}, banyaknya himpunan bagian ada 2 yaitu {a} dan
A = {a, b}, banyaknya himpunan bagian ada 4 yaitu {a} {b} {a, b} dan
A = {a, b, c }, banyaknya himpunan bagian ada 8 yaitu {a} {b} {c} {a, b} {a, c} {b,c} {a,b,c} dan
Jika kita perhatikan banyak himpunan bagian dari himpunan A diperoleh pernyataan sebagai berikut:
Jika n(A) = 1, banyak himpunan bagaimana 2 = 21
Jika n(A) = 2, banyak himpunan bagaimana 4 = 22
Jika n(A) = 3, banyak himpunan bagaimana 8 = 23
Demikian seterusnya
Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut:
Contoh:
Tentukan banyaknya himpunan bagian dari A jika A = {1,2,3,4}
Jawab:
n(A) = 4
jadi, N = 24 = 16
Himpunan bagian dari A adalah sebagai berikut:
{1} {2} {3} {4}{1,2} {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} {3,4} {1,2,3} {1,2,4} {1,3,4} {2,3,4} {1,2,3,4}
Himpunan Kosong d¬an Himpunan Semesta
Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota dan dinotasikan dengan atau {}
Contoh:
Jika H adalah himpunan nama-nama hari yang dimulai dengan huruf B, nyatakan dalam notasi himpunan L
Jawab :
H = atau H = {} karena tidak ada nama hari yang dimulai dengan huruf B.
Himpunan Semesta
Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua objek yang sedang dibicarakan. Hal ini berarti semesta pembicaraan mempunyai anggota yang sama atau lebih banyak dari pada himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga himpunan universal dan disimbolkan S atau U.
Contoh :
R = {3,5,7}
Himpunan semesta yang mungkin untuk himpunan R diantaranya adalah
S = R = {3,5,7}
S = {bilangan ganjil}
S = {bilangan cacah}
S = {bilangan prima}
Diagram Venn
Himpunan dapat dinyatakan dalam bentuk gambar yang dikenal sebagai diagram Venn. Diagram Venn diperkenalkan oleh pakar Matematika, Inggris pada tahun 1834-1923 bernama John Venn dalam membuat diagram Venn yang perlu diperhatikan yaitu:
Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang dan huruf S diletakkan di sudut kiri atas persegi panjang
Setiap himpunan yang dibicarakan (selain himpunan kosong) ditunjukkan oleh kurva tersebut.
Setiap anggota ditunjukkan dengan noktah (titik)
Bila anggota suatu himpunan banyak sekali, maka anggota-anggotanya tidak perlu dituliskan.
Contoh:
Buatlah diagram Venn dari himpunan-himpunan berikut ini S = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {4,5}, dan R {1,3,6}
Jawab
Diagram untuk himpunan S, A, R adalah seperti pada gambar disamping. Anggota A dan anggota R tidak ada yang sama, maka diagram untuk A dan R terpisah.
Irisan dan Gabungan Dua Himpunan
Irisan Dua Himpunan
Pengertian irisan dua himpunan
Jika P = {1,2,3,4} dan Q = {3,4,5} maka 3 dan 4 adalah anggota sekutu dari P dan Q. sedangkan 1 dan 2 menjadi anggota P tetapi bukan anggota Q dan 5 menjadi anggota Q tetapi bukan anggota P. Himpunan yang memuat semua anggota sekutu dari P dan Q disebut irisan dari P dan Q; ditulis P Q = {3,4}
Contoh:
A = {bilangan asli yang kurang dari 6}
B = {2,4,6}
Tentukan A B
Lukiskan dengan diagram Venn
Jawab :
A = {1,2,3,4,5}
B = {2,4,6} maka A B = {2,4}
Gabungan [] dua himpunan
Gabungan dari dua buah himpunan akan menghasilkan suatu himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota kedua himpunan tersebut. Operasi gabungan pada himpunan disimbolkan dengan “".
Misalkan P = {2,3,4,5} dan Q = {1,2,4,6} maka P Q = {1,2,3,4,5,6}
Gabungan dari P dan Q adalah himpunan yang semua anggotanya terdapat pada P atau Q. ditulis dengan notasi pembentuk himpunan: P Q = {x| x P atau x Q }
Komplemen
Misalkan:
S = {1,2,3,4,5,6,7}
Q = {2,3,4,}
Himpunan S yang anggotanya selain anggota himpunan Q adalah {1,5,6,7}. Himpunan bagian dari S ini disebut komplemen Q dan ditulis Q1 atau (Qc), Q1 dibaca ‘komplemen Q” atau “bukan Q”.
Berdasarkan diagram Venn disamping diperoleh:
Q Q1 =
Q Q1 = S
n (Q) + n(Q1) = n(S)
Komplemen dari S ditulis S1. karena S merupakan himpunan semesta maka S1 adalah himpunan kosong dan ditulis S1 = , sebaliknya 1 = S dari uraian dapat disimpulkan:
1 = S
S1 =
(A1)1 = A
Menyelesaikan Masalah dengan Menggunakan Konsep Himpunan
Untuk menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan konsep himpunan dapat digunakan contoh:
Dari sekelompok siswa terdapat 22 orang gemar voli, 20 orang gemar tenis meja, dan 12 orang gemar kedua-duanya
Gambarlah diagram Venn untuk menunjukkan keadaan tersebut!
Berapa jumlah siswa yang terdapat pada kelompok tersebut?
Jawab:
a.
b. Jumlah siswa yang terdapat pada kelompok tersebut adalah 10 + 12 + 18 = 30 orang
Suatu kelas terdiri atas 40 siswa. dari 40 siswa tersebut terdapat 15 siswa senang bermain basket 20 siswa senang sepakbola, dan 10 siswa senang kedua-duanya
Gambarlah diagram Venn dari soal diatas!
Berapa siswa yang tidak senang baik basket maupun sepak bola
Berapa siswa yang senang basket saja?
Berapa siswa yang senang sepakbola saja?
Jawab:
a.
b. Jumlah siswa yang tidak senang baik bermain basket maupun sepak bola adalah 40-5-10-10 = 15 orang
c. Jumlah siswa yang senang basket saja adalah 15-10 = 5 orang
d. Jumlah siswa yang senang sepak bola saja adalah 20-10 = 10 orang
Soal
1. Nyatakan himpunan berikut dengan menggunakan tanda kurung kurawal.
A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6.
A={0,1,2,3,4,5}
A={0,1,4,5,6,7}
A={1,2,3,4,5,6}
A={1,2,4,5,7,8}
2. Z adalah himpunan bilangan ganjil antara 20 dan 46. Nyatakanlah dengan notasi pembentuk himpunan.
a. Z={46 < x < 20, x ϵ bilangan ganjil
b. Z={20 < x < 20, x ϵ bilangan ganjil
c. Z={20 < x < 46, x ϵ bilangan ganjil
d. Z={46 < x < 46, x ϵ bilangan ganjil
3. Tentukan banyak anggota dari himpunan P={1,3,5,7,11}….
a. n(P)=5
b. n(P)=4
c. n(P)=7
d. n(P)=6
4. N adalah himpunan nama-nama bulan dalam setahun yang diawali dengan huruf C. Nyatakan N dalam notasi himpunan…
a. N= ɸ
b. N= ɸ atau N = { }
c. N= { }
d. N= tidak ada yg benar
5. Diketahui
A={2,3,5} dan B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
Tentukan A ∩ B…
a. A ∩ B={2,3,5}=A
b. A ∩ B={2,3,5}=B
c. A ∩ B={1,2,3}=A
d. A ∩ B={2,3,5}=B
6.Misalkan A={bilangan asli kurang dari 6} dan B={1,2,3,4,5}. Tentukan A ∩ B…
a. A ∩ B={1,2,3}=A=B
b. A ∩ B={1,2,3,4}=A=B
c. A ∩ B={1,2,3,4,5}=A=B
d. A ∩ B={1,2,3,4,5,6}=A=B
7. Misalkan P={bilangan asli kurang dari 11} dan Q={2,4,6,8,10,12,14,16}.Tentukan anggota P ∩ Q…
a. P ∩ Q={2,4,6,8,10}
b. P ∩ Q={2,6,10,12,14}
c. P ∩ Q={2,4,6,8,10,12}
d. P ∩ Q={4,6,8,10,12}
8. Diketahui S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} adalah himpunan semesta. Jika A={1,2,3,4} dan B={2,3,5,7}. Tentukan anggota (A ∩ B〖 )〗^c…
a. (A ∩ B〖 )〗^c={1,2,3,4,5}
b. (A ∩ B〖 )〗^c={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
c. (A ∩ B〖 )〗^c={1,3,5,7,9}
d. (A ∩ B〖 )〗^c={1,4,5,6,7,8,9,10}
9. Dalam suatu kelas terdiri atas 40 siswa gemar bermain tenis, 23 gemar sepak bola, dan 11 siswa gemar kedua-duanya. Gambarkanlah diagram Venn dari keterangan tersebut…
a.
b.
c.
d.
10. Dari sekelompok anak, diperoleh data 23 orang suka makan bakso dan mie ayam, 45 orang suka makan bakso, 34 orang suka makan mie ayam, dan 6 orang tidak suka kedua-duanya.Tentukan bayak anak dalam kelompok tersebut…
a. 60 anak
b. 62 anak
c. 50 anak
d. 52 anak
Penyelesaian
1. A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6. Anggota himpunan bilangan cacah kurang dari 6 adalah 0,1,2,3,4,5. Jadi, A={0,1,2,3,4,5}
2. Z adalah himpunan bilangan ganjil antara 40 dan 46. Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan Z={21,23,25,…,43,45}\
3. Banyak anggota P adalah 6, ditulis n(P)=6
4. Nama-nama bulan dalam 1 tahun adalah januari, februari, maret, april, mei, juni, juli, agustus, September, oktober, November, desember. Karena tidak ada nama bulan yang di awali dengan huruf C, maka N adalah himpunan kosong ditulis N= ɸ atau N = { }
5. A={2,3,5}
B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
Maka A ∩ B={2,3,5}=A
6. A={1,2,3,4,5}
B={1,2,3,4,5}
Karena A=B maka A ∩ B={1,2,3,4,5,6}=A=B
7. P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
Q={2,4,6,8,10,12,14,16}
Maka P ∩ Q={2,4,6,8,10}
8. Untuk menentukan Anggota (A ∩ B)^c, tentukan terlebih dahulu anggota dari A∩B
A∩B={2,3}
(A ∩ B)^c={1,4,5,6,7,8,9,10}
9. Gambarnya adalah
10. Banyak anak dalam kelompok tersebut =22+23+11+6= 62 anak
DAFTAR PUSTAKA
Nuharini Dewi, Triwahyuni.2008.Matematika Konsep dan Aplikasinya. Jakarta:Grasindo.
Semoga bermanfaat yah...
Apabila anda kesulitan untuk copy paste, anda bisa download File nya di sini
Standar Kompetensi
Menggunakan konsep himpunan dan diagram Venn dalam pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar
Memahami pengertian dan notasi himpunan, serta penyajiannya.
Memahami konsep himpunan bagian.
Melakukan operasi irisan, gabungan, kurang (selisih), dan komplemen pada himpunan.
Menyajikan him-punan dengan diagram Venn.
Menggunakan konsep himpunan dalam pemecahan masalah.
Indikator
Menyatakan masalah sehari- hari dalam bentuk himpunan dan mendata anggotanya.
Menyebutkan anggota dan bukan anggota himpunan.
Menyatakan notasi himpunan.
Menjelaskan himpunan kosong dan notasinya.
Menentukan himpunan bagian dari suatu himpunan.
Menentukan banyak himpunan bagian suatu himpunan.
Menjelaskan pengertian himpunan semesta, serta dapat menyebutkan anggotanya.
Menjelaskan pengertian irisan, gabungan, dan kurang (selisih) dari dua himpunan.
Menentukan irisan, gabungan dan kurang (selisih) dua himpunan.
Menjelaskan pengertian komplemen dari suatu himpunan.
Menentukan komplemen dari suatu himpunan.
Menyajikan gabungan atau irisan dua himpunan dengan diagram Venn.
Menyajikan kurang(selisih) suatu himpunan dari himpunan lainnya dengan diagram Venn.
Menyajikan komplemen suatu himpunan.
Menyelesaikan masalah dengan menggunakan diagram Venn dan konsep himpunan.
Tujuan pembelajaran pada bab ini adalah
Dapat menyatakan masalah sehari-hari dalam bentuk himpunan dan mendata anggotanya.
Dapat menyebutkan anggota dan bukan anggota himpunan.
Dapat menyatakan notasi himpunan.
Dapat mengenal himpunan kosong dan notasinya.
Dapat menentukan himpunan bagian dari suatu himpunan.
Dapat menentukan banyak himpunan bagian suatu himpunan.
Dapat mengenal pengertian semesta, serta dapat menyebutkan anggotanya.
Dapat menjelaskan pengertian irisan dan gabungan dua himpunan.
Dapat menjelaskan kurang (difference) suatu himpunan dari himpunan lainnya.
Dapat menjelaskan komplemen dari suatu himpunan.
Dapat menyajikan gabungan atau irisan dua himpunan dengan diagram Venn.
Dapat menyajikan kurang (difference) suatu himpunan dari himpunan lainnya dengan menggunakan diagram Venn.
Dapat menyajikan komplemen suatu himpunan dengan diagram Venn.
Dapat menyelesaikan masalah dengan menggunakan diagram Venn dengan konsep himpunan.
Pembahasan
Himpunan dan Notasinya
Pengertian Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda/objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui obyek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam humpunan tersebut.
Contoh:
1) Kumpulan bunga-bunga indah.
Tidak dapat kita sebut himpunan karena bunga indah itu relatif (bunga indah menurut seseorang belum tentu indah menurut orang lain). Dengan kata lain, kumpulan bunga indah tidak dapat didefinisikan dengan jelas.
Rombongan siswa SMP MUHI yang berwisata ke pula dewata adalah himpunan. Mengapa? Sebabnya ialah siswa-siswi yang berwisata kepulau dewata dapat diketahui dengan jelas.
Menyatakan Suatu Himpunan
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan :
Suatu kalimat
Notasi pembentuk himpunan
Mendaftar anggota-anggotanya
Untuk memberi nama pada suatu himpunan pada umumnya digunakan lambang huruf kapital.
Contoh:
H adalah tokoh-tokoh yang pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009. nyatakan himpunan tersebut dengan ketiga cara di atas:
Jawab:
Dengan suatu kalimat
H = { tokoh-tokoh yang pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009}
Dengan notasi pembentuk himpunan :
H = {x|x = tokoh-tokoh yang pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009}
Dengan mendaftar anggota-anggotanya
H = {Soekarno, Soeharto, B.J. Habibie, Abdurrahaman Wahid, Megawati, Susilo Bambang Yudoyono}
Anggota Himpunan
Setiap benda/objek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota/unsur/elemen himpunan tersebut. Untuk menyatakan suatu objek merupakan anggota himpunan, ditulis dengan lambang “” sedangkan untuk menyatakan suatu objek bukan, anggota himpunan ditulis dengan lambang “”
Misalkan H adalah himpunan huruf-huruf pada kata “MERDEKA” maka H adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas huruf-huruf M, E, R, D, E, K dan A. Huruf M, E, R, D, E, K dan A termasuk anggota himpunan H, ditulis M H, E H, R H, dan E H, K H dan A H sedangkan L bukan anggota H atau ditulis L H.
Banyaknya anggota himpunan H adalah 6 buah, yaitu M, E, R, D, E, K dan A ditulis n(H) = 6.
Himpunan dengan banyak anggota berhingga disebut himpunan hingga, sedangkan himpunan dengan banyak anggota tidak berhingga disebut himpunan tidak berhingga.
Misalnya, A adalah himpunan bilangan asli, maka anggota-anggota adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan seterusnya yang tidak pernah berakhir. Banyak anggota himpunan A adalah tidak berhingga, ditulis n(A) = tidak berhingga.
Himpunan Bagian
Pengertian Himpunan Bagian
Perhatikan himpunan-himpunan berikut:
A = {himpunan hewan}
B = {himpunan hewan berkaki empat}
C = {himpunan hewan berkaki empat yang bertelur}
Misalkan A, B dan C adalah sebagai berikut:
A = {kucing, anjing, buaya, kura-kura, burung}
B = {kucing, anjing, buaya, kura-kura}
C = {buaya, kura-kura}
Jika kita perhatikan, setiap anggota himpunan B merupakan anggota himpunan A, ditulis B A dan setiap anggota himpunan C merupakan anggota himpunan B, ditulis C B. Namun, kita tidak dapat menuliskan A B karena ada anggota A yang bukan merupakan anggota B, yaitu burung. Oleh karena itu himpunan yang demikian ditulis A B
Menentukan banyak himpunan bagian
Perhatikan himpunan-himpunan berikut!
A = {a}, banyaknya himpunan bagian ada 2 yaitu {a} dan
A = {a, b}, banyaknya himpunan bagian ada 4 yaitu {a} {b} {a, b} dan
A = {a, b, c }, banyaknya himpunan bagian ada 8 yaitu {a} {b} {c} {a, b} {a, c} {b,c} {a,b,c} dan
Jika kita perhatikan banyak himpunan bagian dari himpunan A diperoleh pernyataan sebagai berikut:
Jika n(A) = 1, banyak himpunan bagaimana 2 = 21
Jika n(A) = 2, banyak himpunan bagaimana 4 = 22
Jika n(A) = 3, banyak himpunan bagaimana 8 = 23
Demikian seterusnya
Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut:
Contoh:
Tentukan banyaknya himpunan bagian dari A jika A = {1,2,3,4}
Jawab:
n(A) = 4
jadi, N = 24 = 16
Himpunan bagian dari A adalah sebagai berikut:
{1} {2} {3} {4}{1,2} {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} {3,4} {1,2,3} {1,2,4} {1,3,4} {2,3,4} {1,2,3,4}
Himpunan Kosong d¬an Himpunan Semesta
Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota dan dinotasikan dengan atau {}
Contoh:
Jika H adalah himpunan nama-nama hari yang dimulai dengan huruf B, nyatakan dalam notasi himpunan L
Jawab :
H = atau H = {} karena tidak ada nama hari yang dimulai dengan huruf B.
Himpunan Semesta
Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua objek yang sedang dibicarakan. Hal ini berarti semesta pembicaraan mempunyai anggota yang sama atau lebih banyak dari pada himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga himpunan universal dan disimbolkan S atau U.
Contoh :
R = {3,5,7}
Himpunan semesta yang mungkin untuk himpunan R diantaranya adalah
S = R = {3,5,7}
S = {bilangan ganjil}
S = {bilangan cacah}
S = {bilangan prima}
Diagram Venn
Himpunan dapat dinyatakan dalam bentuk gambar yang dikenal sebagai diagram Venn. Diagram Venn diperkenalkan oleh pakar Matematika, Inggris pada tahun 1834-1923 bernama John Venn dalam membuat diagram Venn yang perlu diperhatikan yaitu:
Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang dan huruf S diletakkan di sudut kiri atas persegi panjang
Setiap himpunan yang dibicarakan (selain himpunan kosong) ditunjukkan oleh kurva tersebut.
Setiap anggota ditunjukkan dengan noktah (titik)
Bila anggota suatu himpunan banyak sekali, maka anggota-anggotanya tidak perlu dituliskan.
Contoh:
Buatlah diagram Venn dari himpunan-himpunan berikut ini S = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {4,5}, dan R {1,3,6}
Jawab
Diagram untuk himpunan S, A, R adalah seperti pada gambar disamping. Anggota A dan anggota R tidak ada yang sama, maka diagram untuk A dan R terpisah.
Irisan dan Gabungan Dua Himpunan
Irisan Dua Himpunan
Pengertian irisan dua himpunan
Jika P = {1,2,3,4} dan Q = {3,4,5} maka 3 dan 4 adalah anggota sekutu dari P dan Q. sedangkan 1 dan 2 menjadi anggota P tetapi bukan anggota Q dan 5 menjadi anggota Q tetapi bukan anggota P. Himpunan yang memuat semua anggota sekutu dari P dan Q disebut irisan dari P dan Q; ditulis P Q = {3,4}
Contoh:
A = {bilangan asli yang kurang dari 6}
B = {2,4,6}
Tentukan A B
Lukiskan dengan diagram Venn
Jawab :
A = {1,2,3,4,5}
B = {2,4,6} maka A B = {2,4}
Gabungan [] dua himpunan
Gabungan dari dua buah himpunan akan menghasilkan suatu himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota kedua himpunan tersebut. Operasi gabungan pada himpunan disimbolkan dengan “".
Misalkan P = {2,3,4,5} dan Q = {1,2,4,6} maka P Q = {1,2,3,4,5,6}
Gabungan dari P dan Q adalah himpunan yang semua anggotanya terdapat pada P atau Q. ditulis dengan notasi pembentuk himpunan: P Q = {x| x P atau x Q }
Komplemen
Misalkan:
S = {1,2,3,4,5,6,7}
Q = {2,3,4,}
Himpunan S yang anggotanya selain anggota himpunan Q adalah {1,5,6,7}. Himpunan bagian dari S ini disebut komplemen Q dan ditulis Q1 atau (Qc), Q1 dibaca ‘komplemen Q” atau “bukan Q”.
Berdasarkan diagram Venn disamping diperoleh:
Q Q1 =
Q Q1 = S
n (Q) + n(Q1) = n(S)
Komplemen dari S ditulis S1. karena S merupakan himpunan semesta maka S1 adalah himpunan kosong dan ditulis S1 = , sebaliknya 1 = S dari uraian dapat disimpulkan:
1 = S
S1 =
(A1)1 = A
Menyelesaikan Masalah dengan Menggunakan Konsep Himpunan
Untuk menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan konsep himpunan dapat digunakan contoh:
Dari sekelompok siswa terdapat 22 orang gemar voli, 20 orang gemar tenis meja, dan 12 orang gemar kedua-duanya
Gambarlah diagram Venn untuk menunjukkan keadaan tersebut!
Berapa jumlah siswa yang terdapat pada kelompok tersebut?
Jawab:
a.
b. Jumlah siswa yang terdapat pada kelompok tersebut adalah 10 + 12 + 18 = 30 orang
Suatu kelas terdiri atas 40 siswa. dari 40 siswa tersebut terdapat 15 siswa senang bermain basket 20 siswa senang sepakbola, dan 10 siswa senang kedua-duanya
Gambarlah diagram Venn dari soal diatas!
Berapa siswa yang tidak senang baik basket maupun sepak bola
Berapa siswa yang senang basket saja?
Berapa siswa yang senang sepakbola saja?
Jawab:
a.
b. Jumlah siswa yang tidak senang baik bermain basket maupun sepak bola adalah 40-5-10-10 = 15 orang
c. Jumlah siswa yang senang basket saja adalah 15-10 = 5 orang
d. Jumlah siswa yang senang sepak bola saja adalah 20-10 = 10 orang
Soal
1. Nyatakan himpunan berikut dengan menggunakan tanda kurung kurawal.
A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6.
A={0,1,2,3,4,5}
A={0,1,4,5,6,7}
A={1,2,3,4,5,6}
A={1,2,4,5,7,8}
2. Z adalah himpunan bilangan ganjil antara 20 dan 46. Nyatakanlah dengan notasi pembentuk himpunan.
a. Z={46 < x < 20, x ϵ bilangan ganjil
b. Z={20 < x < 20, x ϵ bilangan ganjil
c. Z={20 < x < 46, x ϵ bilangan ganjil
d. Z={46 < x < 46, x ϵ bilangan ganjil
3. Tentukan banyak anggota dari himpunan P={1,3,5,7,11}….
a. n(P)=5
b. n(P)=4
c. n(P)=7
d. n(P)=6
4. N adalah himpunan nama-nama bulan dalam setahun yang diawali dengan huruf C. Nyatakan N dalam notasi himpunan…
a. N= ɸ
b. N= ɸ atau N = { }
c. N= { }
d. N= tidak ada yg benar
5. Diketahui
A={2,3,5} dan B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
Tentukan A ∩ B…
a. A ∩ B={2,3,5}=A
b. A ∩ B={2,3,5}=B
c. A ∩ B={1,2,3}=A
d. A ∩ B={2,3,5}=B
6.Misalkan A={bilangan asli kurang dari 6} dan B={1,2,3,4,5}. Tentukan A ∩ B…
a. A ∩ B={1,2,3}=A=B
b. A ∩ B={1,2,3,4}=A=B
c. A ∩ B={1,2,3,4,5}=A=B
d. A ∩ B={1,2,3,4,5,6}=A=B
7. Misalkan P={bilangan asli kurang dari 11} dan Q={2,4,6,8,10,12,14,16}.Tentukan anggota P ∩ Q…
a. P ∩ Q={2,4,6,8,10}
b. P ∩ Q={2,6,10,12,14}
c. P ∩ Q={2,4,6,8,10,12}
d. P ∩ Q={4,6,8,10,12}
8. Diketahui S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} adalah himpunan semesta. Jika A={1,2,3,4} dan B={2,3,5,7}. Tentukan anggota (A ∩ B〖 )〗^c…
a. (A ∩ B〖 )〗^c={1,2,3,4,5}
b. (A ∩ B〖 )〗^c={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
c. (A ∩ B〖 )〗^c={1,3,5,7,9}
d. (A ∩ B〖 )〗^c={1,4,5,6,7,8,9,10}
9. Dalam suatu kelas terdiri atas 40 siswa gemar bermain tenis, 23 gemar sepak bola, dan 11 siswa gemar kedua-duanya. Gambarkanlah diagram Venn dari keterangan tersebut…
a.
b.
c.
d.
10. Dari sekelompok anak, diperoleh data 23 orang suka makan bakso dan mie ayam, 45 orang suka makan bakso, 34 orang suka makan mie ayam, dan 6 orang tidak suka kedua-duanya.Tentukan bayak anak dalam kelompok tersebut…
a. 60 anak
b. 62 anak
c. 50 anak
d. 52 anak
Penyelesaian
1. A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6. Anggota himpunan bilangan cacah kurang dari 6 adalah 0,1,2,3,4,5. Jadi, A={0,1,2,3,4,5}
2. Z adalah himpunan bilangan ganjil antara 40 dan 46. Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan Z={21,23,25,…,43,45}\
3. Banyak anggota P adalah 6, ditulis n(P)=6
4. Nama-nama bulan dalam 1 tahun adalah januari, februari, maret, april, mei, juni, juli, agustus, September, oktober, November, desember. Karena tidak ada nama bulan yang di awali dengan huruf C, maka N adalah himpunan kosong ditulis N= ɸ atau N = { }
5. A={2,3,5}
B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
Maka A ∩ B={2,3,5}=A
6. A={1,2,3,4,5}
B={1,2,3,4,5}
Karena A=B maka A ∩ B={1,2,3,4,5,6}=A=B
7. P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
Q={2,4,6,8,10,12,14,16}
Maka P ∩ Q={2,4,6,8,10}
8. Untuk menentukan Anggota (A ∩ B)^c, tentukan terlebih dahulu anggota dari A∩B
A∩B={2,3}
(A ∩ B)^c={1,4,5,6,7,8,9,10}
9. Gambarnya adalah
10. Banyak anak dalam kelompok tersebut =22+23+11+6= 62 anak
DAFTAR PUSTAKA
Nuharini Dewi, Triwahyuni.2008.Matematika Konsep dan Aplikasinya. Jakarta:Grasindo.
Semoga bermanfaat yah...
Posted by JEKSON TUMANGGOR on Tuesday, 14 May 2013 - Rating: 4.5
Title : Bahan Ajar Himpunan
Description : HIMPUNAN Apabila anda kesulitan untuk copy paste, anda bisa download File nya di sini Download Disini Standar Kompetensi ...
Description : HIMPUNAN Apabila anda kesulitan untuk copy paste, anda bisa download File nya di sini Download Disini Standar Kompetensi ...
0 Response to "Bahan Ajar Himpunan"
Post a Comment
Berikut Adalah Peraturan Dalam Berkomentar Di Blog Ini :
1. Dilarang menyebarkan hal-hal yang negative.
2. Dilarang menyepam di post kami.
3. Dilarang menyebarkan PORNOGRAFI atau SARA di blog ini.
2014© All Rights Reserved.
▐▌▌│▌▌▌│▌▌│▌▌▌▌▐│▌▌
✔ Vᴇʀɪfɪᴇᴅ BʟᴏG Offɪᴄɪᴀʟ
© BʟᴏG Oʀɪɢɪɴᴀʟ & Offɪᴄɪᴀʟ