Bahan Ajar Logika Matematika

LOGIKA MATEMATIKA 

Anda bisa Download Datanya Jika anda kesulitan Untuk Copy Paste

Untuk mendownload Klik Disini

I. Standar Kompetensi :
Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.



II. Kompetensi Dasar :

· Memahami pernyataan dalam matematika dari ingkaran atau negasinya.

· Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.

· Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan.

· Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah.

III. Indikator


INDIKATOR


1. Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkarannya, menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor, serta menggunakan prinsip logika matematika dalam pemecahan masalah.

2. Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis.

3. Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor.


IV. Tujuan Pembelajaran



Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:

1. Menentukan pernyataan dan bukan pernyataan yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari,

2. Menentukan nilai kebenaran suatu kalimat yang dijumpai dalam kehidupan

sehari-hari,

3. Menentukan nilai kebenaran suatu kalimat majemuk dan menggunakannya

dalam kehidupan sehari-hari,

4. Menentukan kalimat yang ekivalen dengan suatu kalimat yang diketahui,

5. Menentukan invers, konvers, dan kontraposisi dari suatu implikasi serta menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari,

6. Menggunakan modus ponens, modus tolens, dan silogisme untuk menarik kesimpulan.




V. Uraian Materi



A. Pernyataan , kalimat terbuka, dan ingkaran pernyataan.

1. Pernyataan

Pernyataan adalah kalimat yang mengandung nilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus kedua-duanya.

Contoh :

a. Hasil kali 5 dan 4 adalah 20

b. Semua unggas dapat terbang

c. Ada bilangan prima yang genap

Contoh a dan c adalah pernyataan yang bernilai benar, sedangkan b penyataan yang bernilai salah.

Contoh kalimat yang bukan pernyataan :

a. Semoga nanti engkau naik kelas

b. Tolong tutupkan pintu itu

c. Apakah ali sudah makan ?

Suatu pernyataan dinotasikan dengan huruf kecil seperti p, q, r dsb.

Misalnya :

P : Semua bilangan prima adalah ganjil

q : Jakarta ibukota Indonesia

Ada 2 dasar untuk menentukan nilai kebenaran suatun pernyataan yaitu :

a. Dasar empiris : jka nilai kebenaran ditentukan dengan pengamatan pada saat tertentu.

Contoh :

* Rambut adik panjang

* Besok pagi cuaca cerah

b. Dasar tidak empiris : jka nilai kebenaran ditentukan menurut kaidah atau hukum tertentu. Jadi nilai mutlak tidak terikat oleh waktu dan tempat.

Contoh :

* Jumlah sudut dalam segitiga adalah 1800

* Tugu muda terletak di kota Semarang



2. Kalimat terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenaraanya. Ciri dasar kalimat terbuka adalah adanya peubah atau variabel.

Contoh :

a. 2x + 3 = 9

b. 5 + n adalah bilangan prima

c. Kota A adalah ibukota provinsi jawa tengah

3. Ingkaran dari pernyataan

Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan yang mengingkari pernyataan semula.

Ingkaran dari pernyataan p dinotasikan ~ p dibaca “ bukan p” atau “tidak p”.




Contoh :

a. p : Ayah pergi ke pasar

~ p : Ayah tidak pergi ke pasar

b. q : 2 + 5 < 10

~ q : 2 + 5 10



Pernyataan berkuantor

Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas

Ada 2 macam kuantor, yaitu :

1. Kuantor Universal

Dalam pernytaan kuantor universal terdapat ungkapan yang menyatakan semua, setiap. Kuantor universal dilambangkan dengan (dibaca untuk semua atau untuk setiap)





Contoh :

* x R, x2 > 0, dibaca untuk setiap x anggota bilangan Real maka berlaku x2 > 0.

* Semua ikan bernafas dengan insang.

2. Kuantor Eksistensial

Dalam pernyataan berkuantor eksistensial terdapat ungkapan yang menyatakan ada, beberapa, sebagian, terdapat. Kuantor Eksistensial dinotasikan dengan ( dibaca ada, beberapa, terdapat, sebagian)

Contoh :

* x R, x2 + 3x – 10 < 0, dibaca ada x anggota bilangan real dimana x2 + 3x – 10 < 0

* Beberapa ikan bernafas dengan paru-paru

Ingkaran dari pernyataan berkuantor

Ingkaran dari pernyataan universal adalah kuantor eksistensial dan sebaliknya ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah kuantor universal.

Contoh :

a. p : Semua ikan bernafas dengan insang

~ p : Ada ikan bernafas tidak dengan insang

: Terdapat ikan bernafas dengan paru-paru

: Tidak semua ikan bernafas dengan insang

b. q : Beberapa siswa SMA malas belajar

~ q : Semua siswa SMA tidak malas belajar

B. Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung.

Ada 4 macam pernyataan majemuk :

1. Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “dan”. Konjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan yang dibaca p dan q


Contoh :

p : 34 = 51 bernilai salah

q : 2 + 5 = 7 bernilai benar

: 34 = 51 dan 2 + 5 = 7 bernilai salah

2. Disjungsi

Disjungsi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung atau.

Disjungsi dari pernyataan p dan q dinotasikan dan dibaca p atau q

Contoh :

P : jumlah dari 2 dan 5 adalah 7 (pernyataan bernilai benar)

q : Tugu pahlawan terletak di Jakarta (pernyataan bernilai salah)

: Jumlah dari 2 dan 5 adalah 7 atau Tugu pahlawan terletak di Jakarta (pernyataan bernilai benar)

3. Implikasi

Implikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “jika .... maka .......”

Implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan dengan p q yang dibaca “jika p maka q” atau “p jika hanya jika q” atau “p syarat perlu bagi q” atau “q syarat cukup bagi p”

Dari implikasi p q, p disebut anteseden atau sebab atau hipotesa

q disebut konsekuen atau kesimpulan atau konklusi.


Contoh :

P : 5 + 4 = 7 (pernyataan salah)

q : Indonesia di benua eropa (pernyatan salah)

p q : Jika 5 + 4 = 7 maka Indonesia di benua eropa (pernyataan benar)

4. Biimplikasi

Biimplikasi adalah pernyataan majemuk dengan kata hubung “.......jika dan hanya jika............” dan dilambangkan .

Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p q yang dibaca p jika dan hanya jika q atau jika p maka q dan jika q maka p.


Contoh :

p : 3 + 10 =14 (pernyataan salah)

q : Persegi adalah segitiga (pernyataan salah)

p q : 3 + 10 = 14 jika dan hanya jika persegi adalah segitiga (pernyataan salah)



D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari implikasi p q dapat dibentuk implikasi baru :

1. q p disebut konvers dari implikasi semula

2. ~ p ~ q disebut invers dari implikasi semula

3. ~ q ~ p disebut kontraposisi dari implikasi semula



Contoh :

p : Tia penyanyi

q : Tia seniman

implikasi p q : Jika Tia penyanyi maka Tia seniman

Konvers q p : Jika Tia seniman maka Tia penyanyi

Invers ~ p ~ q : Jika Tia bukan penyanyi maka Tia bukan seniman

Kontraposisi ~ q ~ p : Jika Tia bukan seniman maka Tia bukan penyanyi



E. Pernyataan Majemuk Yang Ekivalen

Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya, pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama. Lambang ekuivalen adalah


F. Negasi Dari Pernyataan Majemuk

1. ~ (p q) ~ p v ~ q

2. ~ (p v q) ~ p ~ q

3. ~ (p q) p ~ q

4. ~ (p q) (p ~ q) v (q ~ p)

Contoh :

1. Negasi dari 5 + 2 = 8 dan adik naik kelas adalah 5 + 2 8 atau adik tidak naik kelas

2. Negasi dari jika adik belajar maka ia pandai adalah adik belajar dan ia tidak pandai



G. Tautologi Dan Kontradiksi

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya.

Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya.

H. Penarikan Kesimpulan

Argumen adalah serangkaian pernyataan yang mempunyai ungkapan penarikan kesimpulan. Suatu argumen terdiri dari 2 kelompok pernyataan yaitu kelompok premis dan kelompok konklusi.

Contoh :

Premis 1 : Jika adik rajin belajar maka naik kelas

Premis 2 : Jika adik naik kelas maka Ibu senang

Premis 3 : Adik rajin belajar

Konklusi : Ibu senang

Suatu argumen dikatakan sah atau valid jika untuk semua kemungkinan nilai kebenaran premis-premisnya mendapatkan konklusi yang benar pula.

Ada 3 dasar penarikan kesimpulan yaitu :

1. Modus Ponens

Kerangka penarikan modus ponens sebagai berikut :

Premis 1 : p q

Premis 2 : p

Konklusi : q


2. Modus Tollens

Kerangka penarikan kesimpulan dengan dasar modus tollens sbb :

Premis 1 : p q

Premis 2 : ~ q




Konklusi : ~ p


3. Silogisme

Kerangka penarikan kesimpulan dengan metode silogisme sbb :

Premis 1 : p q

Premis 2 : q r




Konklusi : p r



Contoh :

Tentukan konklusi dari argumen-argumen berikut ini :

1. Premis 1 : Jika sakit maka ibu minum obat

Premis 2 : Ibu sakit




Konklusinya : Ibu minum obat



2. Premis 1 : Jika mesinnya rusak maka mobil itu tidak dapat bergerak

Premis 2 : Mobil itu dapat bergerak




Konklusinya : Mesin mobil itu tidak rusak

3. Premis 1 : Jika BBM naik maka ongkos bis naik

Premis 2 : Jika ongkos bis naik maka uang saku naik


Konklusinya : Jika BBM naik maka uang saku naik


VI. Latihan



1. Jika diketahui pernyataan p benar dan q salah, maka pernyataan di bawah ini yang benar adalah…



A. p q B. ~p q C. ~p q

D. ~q p E. ~p ~ q



2. Invers dari “jika hujan turun maka jalan di depan sekolah becek” adalah…

A. Jika jalan di depan sekolah becek maka hujan tidak turun.

B. Hujan tidak turun dan jalan di depan sekolah becek.

C. Jika hujan tidak turun maka jalan di depan sekolah becek.

D. Jika hujan tidak turun maka jalan di depan sekolah tidak becek.

E. Hujan tidak turun atau jalan di depan sekolah tidak becek.



3. Pernyataan “jika hari hujan maka sungai meluap” ekuivalen dengan…

A. Hari hujan dan sungai meluap.

B. Hari tidak hujan dan sungai tidak meluap.

C. Jika sungai maka hari tidak hujan.

D. Jika sungai tidak meluap maka hari tidak hujan.

E. Jika hari tidak hujan maka sungai tidak meluap.



4. Ingkaran (negasi) dari pernyataan “semua orang makan nasi” adalah…

A. Beberapa orang tidak makan nasi.

B. Semua orang tidak makan nasi.

C. Tidak semua orang tidak makan nasi.

D. Tidak ada orang makan nasi.

E. Beberapa orang makan nasi.



5. Ingkaran dari (p q) r adalah…

A. ~p q r B. (~p q) r C. p q ~r

D. ~p ~q r E. (~p q) r



6. Kesimpulan dari tiga premis:

(1) p q (2) q r (3) ~r adalah…

A. p B. q C. r D. ~p E. ~q



7. Penarikan kesimpulan dari premis-premis

p v q

~q

……… adalah…



A. p B. ~p C. q D. ~q E. ~(p v q)

8. Ditentukan premis-premis

1. Jika Badu rajin bekerja maka ia disayangi ibu.

2. Jika Badu disayangi ibu maka ia disayangi nenek.

3. Badi tidak disayangi nenek.

Kesimpulan yang sah dari ketiga premis di atas adalah…

A. Badu rajin bekerja tetapi tidak disayangi ibu.

B. Badu rajin bekerja.

C. Badu disayangi ibu.

D. Badu disayangi nenek.

E. Badu tidak rajin bekerja.

9. Pernyataan “jika hari tidak hujan maka sungai tidak meluap” ekuivalen dengan…

A. Hari hujan dan sungai meluap.

B. Hari tidak hujan dan sungai tidak meluap.

C. Jika sungai meluap maka hari hujan.

D. Jika sungai tidak meluap maka hari tidak hujan.

E. Jika hari tidak hujan maka sungai tidak meluap.



10. Ditentukan premis-premis

1. Jika Andi rajin belajar maka ia pintar.

2. Jika Andi pintar maka ia dapat juara.

3. Andi tidak dapat juara.

Kesimpulan yang sah dari ketiga premis di atas adalah…

A. Andi rajin bekerja tetapi tidak disayangi ibu.

B. Andi rajin belajar.

C. Andi pintar.

D. Andi dapat juara.

E. Andi tidak rajin belajar.

Pembahasan

1. p q = B S = S

Jawabannya : A



2. Rumus : Invers dari p q adalah ~p ~q. Dengan demikian invers dari “jika hujan turun maka jalan di depan sekolah becek” adalah “jika hujan tidak turun maka jalan di depan sekolah tidak becek”.

Jawabannya : D



3. Rumus : p q = ~q ~p. Dengan demikian “jika hari hujan maka sungai meluap” ekuivalen dengan “jika sungai tidak meluap maka hari tidak hujan”.

Jawabannya : D



4. Rumus : ~(semua p) = Ada beberapa ~p. Dengan demikian negasi dari pernyataan “semua orang makan nasi” adalah “beberapa orang tidak makan nasi”.

Jawabannya : A



5. Rumus : ~( p q) = p ~ q. Dengan demikian ingkaran dari (p q) r adalah (p q) ~r = p ~q

Jawabannya : C



6. p q p q

q r ~r___

~p

Jawabannya : D

7. p v q atau ~p q

~q ~q

P

Jawabannya : A


8. Soal dapat diterjemahkan menjadi :

p q

q r p r

~r ~r

~p

Kesimpulan ~p = Badu tidak rajin bekerja.

Jawabannya : E

9. 6. p q p q

q r ~r___

~p

Jawabannya : C



10. Soal dapat diterjemahkan menjadi :

p q

q r p r

~r ~r

~p

Kesimpulan ~p = Andi tidak rajin belajar.

Jawabannya : E



VII. Daftar Pustaka

Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X. Jakarta : PT. Galaxy Puspa Mega.

Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X. Jakarta : Penerbit Erlangga.

MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA / MA. Semarang : CV. Jabbaar Setia.

Semoga Bermanfaat Yah...

Posted by JEKSON TUMANGGOR on Thursday, 2 May 2013 - Rating: 4.5

Title : Bahan Ajar Logika Matematika
Description : LOGIKA MATEMATIKA  Anda bisa Download Datanya Jika anda kesulitan Untuk Copy Paste Untuk mendownload  Klik Disini I. Standar Kom...

Tweet